Page
1
Permută ri. Arănjămente. Combină ri.
Permutări
Definiţie. Mulţimea finită ?={?1, ?2, ?3, … , ??
} se numește mulţime ordonată dacă elementele ei sunt
aranjate într-o ordine bine determinată.
S-a convenit ca mulţimile ordonate, obţinute din mulţimea dată, să se scrie între paranteze rotunde.
Exemplu: Fie dată mulțimea ? = {?, ?, ?}. De găsit toate multimile ordonate, obținute din mulțimea dată.
Investigăm:
1. Să considerăm 3 cercuri: verde, roșu, albastru. În câte moduri
putem aranja aceste cercuri?
Observam că cercul roșu are 3 posibilități de amplasare;
cercul albastru are 2 posibilități de amplasare;
cercul verde are 1 posibilitate de amplasare;
Avem 3 ∙ 2 ∙ 1 = ?6 = 3! = 6 moduri de permutare a cercurilor.
2. Să considerăm 6 manuale diferite.
În câte moduri putem aranja aceste manuale pe raft?
Avem .6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = ?6 = 6! = 720 ??????
3. Să considerăm ? numere diferite.
În câte moduri putem permuta aceste numere?
Avem ? ∙ (? − 1) ∙ (? − 2) ∙∙∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = ?? = ?!
Permutări ale unei mulțimi din n elemente ⇒ toate mulțimile ordonate formate din n
elemente.
Notăm: ??− numărul de permutări de n elemente
?? = ? ∙ (? − 1) ∙ (? − 2) ∙∙∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = ?! , ? ∈ ?
∗
Convenție: 0! = 1
Page
2
Consolidăm:
1. În câte moduri putem așeza 7 persoane pe 7
scaune? ?7 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5040 ??????.
2. La o sesiune s-au înregistrat 10 referate.
În câte moduri se poate face programarea
susținerii lor?
?10 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 10! = 3 628 800 ??????.
3. În câte moduri putem alcătui o listă din 12
persoane? ?12 = 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 12!
= 479 001 600 ??????.
4. Câte anagrame putem alcătui pentru cuvântul
”card”? ?4 = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24 ??????.
5. Câte anagrame putem alcătui pentru cuvântul
”copac”?
?1 ? ? ? ?2
c – se reptă de 2 ori, deci numărul total se împarte la 2!
?5
?2
=
5!
2!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1
= 60 ????????
6. Câte anagrame putem alcătui pentru cuvântul
”matematica”?
?1 ?1 ?1 ? ?2 ?2 ?2 ? ? ?3
a – 3 repetări, deci numărul total se împarte la 3!
m – 2 repetări, deci numărul total se împarte la 2!
t – 2 repetări, deci numărul total se împarte la 2!
?10
?3 ∙ ?2 ∙ ?2
=
10!
3! ∙ 2! ∙ 2!
= 15 120 ????????
7. Pe un raft sunt 9 manuale diferite, printre care
Biologia și Chimia. În câte moduri se pot
aranja aceste manuale pe raft, astfel încât
manualele Biologia și Chimia să fie alături?
Manualele de Biologie și Fizică pot fi aranjate în 2 moduri (2!)
și putem considera că ocupă o poziție.
Deci la permutare vom avea 8 ????ț??.
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 8!
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 8!
Total: 2! ∙ 8!= ?2 ∙ ?8 =80 640 moduri de aranjare pe raft.
BC
CB
8. Pe un raft sunt 8 manuale diferite, printre care
Biologia, Chimia și Fizica. În câte moduri se
pot aranja aceste manuale pe raft, astfel încât
manualele Biologia, Chimia și Fizica să fie
alături?
Manualele de Biologie, Chimie și Fizică pot fi aranjate în 3!
moduri și putem considera că ocupă o poziție.
Deci la permutare vom avea 6 ????ț??.
Total: 3! ∙ 6!= ?3 ∙ ?6 =4320 moduri de aranjare pe raft.
9 Fie date mulțimile
?1={1}, ?2={1,2} ș? ?3={1,2,3}.
În câte moduri pot fi aranjate elementele
acestor mulțimi?
?1={1} → (1) 1 =1!
?2={1,2} → (1,2); (2,1) 2 =2!
?3={1,2,3} → (1,2,3); (1,2,3); (1,2,3); (1,2,3); (1,2,3); (1,2,3) 6 =3!
10. Fie dată mulțimea ?={?1, ?2, ?3, ?4
}. În câte
moduri pot fi aranjate elementele acestei
mulțimi?
?= {?1, ?2, ?3, ?4
} →
(?1, … ); (?1, ...); (?1, ... ); (?1, … ); (?1, ... ); (?1, ... );
....................................................................
(?4, … ); (?4, ...); (?4, ... ); (?4, … ); (?4, ... ); (?4, ... );
?4 = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24 ??????.
8 poziții
2! moduri
4
Page
3
Aranjamente
Investigăm:
1. Dacă la o competiție sportivă cu 9 participanti știm că la final trei din ei vor fi câștigătorii locurilor I, II
și III, câte moduri de urcare pe podium sunt?
Pentru cei 9 participanți avem:
9 moduri pentru a alege pe cel care ar putea ocupa locul I,
8 moduri pentru a alege pe cel care ar putea ocupa locul II,
7 moduri pentru a alege pe cel care ar putea ocupa locul III.
Deci vom avea 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504 ??????.
Definiţie: Submulţimile ordonate ale unei mulţimi M cu n elemente, având fiecare câte m elemente, unde 0 ≤
? < ?, se numesc aranjamente de n elemente luate câte m.
Numărul de aranjamente de n elemente luate câte m se notează ??
?,
Prin definiţie, considerăm că ??
0 = 1.
??
? = ? ∙ (? − 1) ∙ (? − 2) ∙ ⋯ ∙ (? − ? + 1)
2. Câte mulțimi ordonate cu 2 elemente putem forma din 3 cercuri: roșu, galben, verde?
Pentru a plasa un cerc pe prima poziție avem 3 posibilități.
Pentru a ocupa a doua poziție ne rămân doar 2 posibilități.
Vom calcula numărul de aranjamente din 3 elemente luate
câte 2:
?3
2 = 3 ∙ 2 = 6 mulțimi ordonate
3. Câte mulțimi ordonate cu 3 elemente distincte putem forma din 4 figuri diferite?
Pentru a ocupa prima poziție avem 4 posibilități;
Pentru a ocupa celelalte 3 poziții avem ?3
2 = 3 ∙ 2 = 6 posibilități.
Vom calcula numărul de aranjamente din 3 elemente luate câte 2:
?4
3 = 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 mulțimi ordonate.
În practică se aplică și o alta formulă pentru calculul ??
?: ??
? =
?!
(?−?)!
4. Câte mulțimi ordonate cu 6 elemente distincte putem forma din 10 figuri diferite?
?10
6 =
10!
(10 − 6)!
=
10!
4!
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!
4!
= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 151 200.
Page
4
Consolidăm:
1. Câte numere din 3 cifre distincte pot fi
alcătuite doar cu cifrele impare?
Avem 5 cifre impare: 1,3,5,7,9.
?5
3
= 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 ??????.
2. La o expoziție sunt doar 4 locuri disponibile
pentru 6 tablouri noi. În câte moduri pot fi
expuse aceste tablouri?
?6
4 =
6!
(6 − 4)!
=
6!
2!
=
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2!
2!
= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 =
= 360 ??????.
3. La o adunare sunt prezente 50 de persoane.
În câte moduri putem alege președintele,
vicepreședintele și secretarul?
?50
3 =
50!
(50 − 3)!
=
50!
47!
=
50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47!
47!
=
= 50 ∙ 49 ∙ 48
4. În clasa a X-a se studiază 12 obiecte. În câte
moduri poate fi alcătuit orarul pentru ziua de
luni, știind că în acestă zi trebuie să fie 5
lecții diferite?
?12
5 =
12!
(12 − 5)!
=
12!
7!
=
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!
7!
=
= 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8
5. Câte numere din 5 cifre distincte se pot forma
utilizând toate cifrele?
Avem 10 cifre: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
La formarea numerelor din 5 cifre distincte ținem cont
de faptul că prima cifră nu poate fi 0.
9 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 9 ∙ ?9
4
6. Cu literele cuvântului ”imagine ”se formează
anagrame din 3 litere, care conțin obligatoriu
literele ”a” și ”m”. Câte anagrame de acest
fel pot fi formate?
Avem 7 litere distincte.
La formarea anagramelor literele ”a” și ”m” ocupă 2 din
3 poziții, deci vom avea ?3
2
fi moduri pentru amplasarea
lor. A treia poziție va fi ocupată de una din cele 5 litere
rămase.
Numărul rezultatelor posibile va fi: 5 ∙ ?3
2
7. Să se aducă la o formă mai simplă expresia:
??
6 + ??
5
??
4
??
6 + ??
5
??
4 = (
?!
(? − 6)!
+
?!
(? − 5)!
) :
?!
(? − 4)!
=
=
?!(?−5+1)
(?−5)!
∙
(?−4)!
?!
=
?!(?−4)
(?−5)!
∙
(?−5)!(?−4)
?!
= (? − 4)
2
8. Să se aducă la o formă mai simplă expresia:
??
3
∙ ??−3
??−1
???: ? ∈ ?, ? > 3
??
3
∙ ??−3
??−1
=
?! (? − 3)!
(? − 3)!
∙
1
(? − 1)!
=
=
(? − 1)! ?
(? − 1)!
= ?
9. Să se rezolve ecuația: 3??
4 = ??
5
???: ? ∈ ?, ? > 5
??
4 =
?!
(? − 4)!
=
?(? − 1)(? − 2)(? − 3)(? − 4)!
(? − 4)!
= ?(? − 1)(? − 2)(? − 3)
??
5 =
?!
(? − 5)!
=
?(? − 1)(? − 2)(? − 3)(? − 4)(? − 5)!
(? − 5)!
= ?(? − 1)(? − 2)(? − 3)(? − 4)
3?(? − 1)(? − 2)(? − 3) = ?(? − 1)(? − 2)(? − 3)(? − 4)
3 = ? − 4
? = 7 ∈ ??? Răspuns: ? = {7}
Page
5
Combinări
1. În câte moduri putem forma o echipă de volei într-o clasă de 20 de elevi?
O echipă de volei este alcătuită din 6 membri, deci vom forma
grupe a câte 6 persoane din cele 20 de persoane disponibile:
pentru a decide primul membru vom avea 20 de opțiuni;
pentru a decide al doilea membru vom avea 19 opțiuni;
pentru a decide al treilea membru vom avea 18 opțiuni;
pentru a decide al patulea membru vom avea 17 opțiuni;
pentru a decide al cincilea membru vom avea 16 opțiun;
pentru a decide al șaselea membru vom avea 15 opțiuni.
În acest mod vom forma 20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15 grupe.
De fapt am fomat submulțimi ordonate ca la aranjamente. Deoarece în cazul dat ordinea jucătorilor nu
contează, identificăm câte grupe au aceiași jucători, doar că aranjați în ordine diferită. Ne amintim că
într-un grup de 6 elemente putem efectua 6! permutări, deci împărțim numărul obținut la 6!, altfel zis
împărțim numărul de aranjamente posibile la numărul de permutări:
20∙19∙18∙17∙16∙15
6!
=
?20
6
?6
= 38 760 ??????.
Definiţie: Submulţimile mulţimii ? = {?1, ?2, … , ?3
}, ???? ? = ?, având fiecare
câte m elemente, unde 0 ≤ ? ≤ ?, se numesc combinări de ? elemente luate câte ?.
Notăm: ??
? sau (
?
?
) Observăm că: ??
0 = 1, ??
1 = ?
sau
2. Câte submulțimi de 3 elemente are o mulțime de 4 elemente?
Avem ?4
3 =
?4
3
?3
=
4∙3∙2
3!
=
4∙3∙2
3∙2∙1
=4 submulțimi.
Comparați!
3. Câte submulțimi de 3 elemente are
mulțimea ? = { 1, 2, 3, 4} ?
?4
3 =
?4
3
?3
=
4∙3∙2
3!
=
4∙3∙2
3∙2∙1
=4
Deci vom avea 4 submulțimi:
{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}.
4. Câte submulțimi ordonate de 3 elemente
putem forma cu elementele mulțimii
? = { 1, 2, 3, 4} ?
?4
3 = 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
Deci vom avea 24 submulțimi ordonate:
(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1);
(1,2,4); (1,4,2); (2,1,4); (2,4,1);
(1,3,4); (1,4,3); (3,1,4); (3,4,1);
(2,3,4); (2,4,3); (3,2,4); (3,4,2).
??
?=
??
?
??
Pentru a nu confunda combinările cu
aranjamentele, ţinem cont de faptul că la
combinări, submulţimile unei mulţimi date
nu sunt ordonate, iar la aranjamente toate
submulţimile acesteia sunt ordonate.
Elementele combinărilor se scriu între acolade, iar
cele ale aranjamentelor – între paranteze rotunde.
??
?=
?!
?!(?−?)!
Page
6
Consolidăm:
1. Cu 20 de garoafe și 5 romanițe în
câte moduri putem forma un buchet
din7 flori?
?25
7 =
25!
7! (25 −7)!
=
18! ∙ 19 ∙ 20 ∙ 21 ∙ 22 ∙ 23 ∙ 24 ∙ 25
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 18!
=
= 480 700.
2. Fie date 10 puncte distincte A, B, ....
K, coplanare și necoliniare 3 câte 3.
Câte triunghiuri cu vârfurile în 3 din
aceste puncte putem determina?
?10
3 =
10!
3!(10−3)!
=
3. Fie date 10 puncte distincte A, B, ....
K, coplanare și necoliniare 3 câte 3.
Câte triunghiuri cu vârful în punctul
A putem determina?
?9
2 =
9!
2!(9−2)!
=
4. Într-o clasă avem 7 băieți și 10 fete.
Avem nevoie de o echipă din 9
persoane pentru a reprezenta clasa.
În câte moduri o putem face?
?17
9 =
5. Într-o clasă avem 7 băieți și 10 fete.
Avem nevoie de 4 băieți și 5 fete
pentru a reprezenta clasa.
În câte moduri o putem face?
?7
4
∙ ?10
5 =
6. Într-o clasă avem 7 băieți și 10 fete.
Avem nevoie de o echipă din 9
persoane în care să fie cel puțin 5
băieți pentru a reprezenta clasa. În
câte moduri o putem face?
Condiția cere cel puțin 5 băieți, deci avem 3 posibilități:
putem avea 5, 6 sau 7 baieți:
5b 4f sau 6b 3f sau 7b 2f
?7
4
∙ ?10
4
+ ?7
6
∙ ?10
3 + ?7
7
∙ ?10
2
moduri.
7. Câți divizori naturali are numărul
70?
70 = 2 ∙ 5 ∙ 7
Divizorii numărului 70 sunt:
1 și însuși numărul - 1; 70 - 2 divizori
factorii primi - 2; 5; 7 - 3 divizori
produsele a câte 2 factori primi - 10; 14; 35 - 3 divizori
2 + 3 + 3 = 8 (divizori naturali).
8. Câți divizori naturali are numărul
910?
910 = 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 13
Numărul de divizori:
2 (1 și însuși numărul)+4 (factorii primi)+ ?4
2
(produsele
a câte 2 factori primi) + ?4
3
(produsele a câte 3 factori
primi ) = 2 + 4 + 6 + 4 = 16 (divizori naturali).
9. În câte moduri se pot forma 6
perechi (câte un băiat și câte o fată),
dacă avem 8 fete și 9 băieţi?
10.